Есть роутер, к нему в wan подключен инет, в lan порты подключены два компа(1и 2), на компе 1 установлен прокси сервер, комп2 прежде чем выйти в инет, должен как-то узнать у прокси разрешен ли ему этот сайт и если да, то выйти в инет. Как это делается?

В операционной системе компа 2 нужно прописать прокси.
Прокси можно прописать как для конкретной службы (например в линуксе конкретно для apt или в Windows в конкретном браузере), так и в целом для системы. Всё гуглится элементарно, в инете полно детальных статей под все операционные системы с подробнейшими скриншотами.