О парадоксах в математике. Просьба изъясняться на понятном языке.

Утверждение.

Это плохо.

Там - это где?

Это как расценивать?

Как Вы думаете, а что бы мне Вам предложить?

Увлекательная история.

А что ещё можно понимать под мощностью алгебры?

Это оценка только в одну сторону. Оценка в другую сторону не столь очевидна, т.е. доказательство того, что мощность строго меньше 2^C (считаем, что обобщённая континуум-гипотеза верна).

serj666(reborn)
Коллега, ну что так плохо то ? Ни одного информативного поста, а только отговорки в стиле "Да-Да" , "Нет-Нет".

Об этом я и говорил с самого начала. Если перефразировать, то что вы сказали, грубо , то получается с точки теории пределов, то 1/бесконечностьприблизительно=0. Приблизительно, но не абсолютно.0,- это величина, к которой результат стремится, но никогда его не достигает, а вы же сказали, что в точности равен. На мой очень субъективный взгляд, это несколько вольное толкование, точной науки. В точной науке не должно быть приблизительных результатов. Я вполне допускаю, что в практике этого и не нужно, но в теории, а философия как раз рассматривает именно теорию, такое приближение недопустимо. Может быть, что результат и будет равен 0. Но доказать, это невозможно, можно лишь принять на веру, но на веру я не принимаю, и это не только моя точка зрения, этот спор ведется со времен Аристотеля. В древней Греции просто спор на эту тему, мог стоить спорящим головы. Но сейчас то у нас демократия? И я имею право на свою точку зрения точно так же , как и вы. Есть вещи в математике, которые нельзя доказать, точно так же как и опровергнуть. Только логические доводы...
Добавлено спустя 18 минут, 41 секунду

Уж извините, что я встреваю, но на мой непрофессиональный взгляд никакого противоречия я не вижу.
В философии часть равна целому.Проекция бесконечно малой величины может дать бесконечно большую, здесь никаких противоречий нет.Если принять на веру теорию бесконечных множеств, и их сравнения по мощности , если мощность множества натуральных чисел равна мощности множества четных чисел, то и сделать два апельсина из одного не представляет никакого труда. Опять же, с сугубо личной точки зрения подход неправилен. В бесконечных множествах чисел нет. Есть только величины.

Aside
По-мойму, мы закончили на том, что Вы неправильно доказали, что мощность борелевской сигма-алгебры равна С, или я что-то путаю? При этом Вы сказали, что этот результат тривиален, а существование неборелеских неочевидно. О чём ещё с Вами разговаривать?

Об этом уже много говорилось в этой ветке. Контимуум это ну очень много. Т.е. из двух апельсинов сделать два, это имеется ввиду тоже самое, что отобразить взаимооднозначно отрезок [0, 1] на отрезок [0, 2]? Ну это же математичесий мир, поэтому и можно. То что чётных чисел столько же сколько и всех натуральных это же неудивительно.

Ну для меня "факт", что любое подножество R можно было бы представить ввиде объединения (конечного или счётного) и/или дополнения открытых множеств, был бы столь же нетривиален, как и обратный к нему. За годы обучения встречал кучу всяких экзотических множеств (особенно при рассмотрении неизмеримых по Лебегу множеств), например, те же канторовы множества (являются ли они борелевскими, а значит и измеримыми, я не помню, просто как пример нетривиального подмножества).

Ну просто товарищ Aside, мне показалось, понял это, как наличие в алгебре континуальных множеств.

Да, действительно. А интересно, если не использовать обобщённую континуум-гипотезу, утверждение можно доказать?

Тоже непонятно. Утверждение слабое, потому что борелевская сигма-алгебра оказывается богатой алгеброй. Так что ли? Или слово "слабое" здесь имеет формальный математический смысл. Если да, то не могли бы вы дать строгое определение.

Ну сколько можно? Не приблизительно, а точно. С точки зрения теории пределов 1/бесконечность (если интерпретировать 1/бесконечность как предел последовательности обратной к бесконечно большой, а иначе смысла у записи нет) РАВНО В ТОЧНОСТИ НУЛЮ

Естественно, последовательность не может быть равна числу (если мы, конечно, под равенством не понимаем какой-то морфизм), это объекты разной природы. Но предел числовой последовательности (если он есть) - это число. В математическом мире сумма ряда равна в точности пределу последовательности частичных сумм этого ряда (это определение такое), а в реальном мире есть только натуральные числа, даже 1/2-ой нет, т.к. вы никогда не поделите апельсин на две части идеально точно.

Что доказать? Что в теории пределов предел последовательности 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... равен нулю? Это легко. Для любого e > 0, возьмём в качестве N число [1/e] (минимальное целое, большее 1/e), тогда получим, что для любого e > 0, при n > [1/e], 1/n < e. Вот и всё доказательство. Доказать, что в математическом мире математическая окружность имеет площадь в точности равную Пи*R^2? Уже доказал (ну если честно, то не до конца, нужно ещё доказать квадрируемость фигуры - построить описанные правильные n-угольники и показать, что разница между ними и вписанными стремится к нули при увеличении количества вершин). Не пойму, что может быть не понятного.
Добавлено спустя 1 час, 1 минуту, 47 секунд

Площать описанного правильного n-угольника равна сумма от 1 до n с общим членом tg(Пи/n)*R^2, частичная сумма равна n*tg(Пи/n)*R^2 = (R^2)*n*sin(Пи/n)/cos(Пи/n) эквивалентно (R^2)*n*sin(Пи/n) = Пи*(R^2)*(sin(Пи/n)/(Пи/n)) --> Пи*(R^2). Т.е. фигура квадрируема и её площадь равна Пи*(R^2).

Борелевская сигма алгебра это просто минимальная сигма алгебра содержащая все открытытые подмножества единицы(прямой или отрезка в данном случае) ,каким образом из этого определения следует, что подобными множествами мы не можем исчерпать все мыслимые подмножества единицы ? Или для вас это очевидно? =)
Добавлено спустя 11 минут, 45 секунд
Да что здесь спорить ,предел функции в точке может совпадать, а может и не совпадать с значением в этой точке , вот собственно и все.
Для последовательностей все зависит от последовательности если начиная с какого-то элемента она стала стационарной предел достигается в противном случае нет и тут прямая аналогия с функцией при стремлении аргумента к бесконечности(в случае последовательности он просто пробегает натуральный ряд) и если функция стала постоянной с какого-то момента предел достигается в обратном случае нет.

Не понял.
Добавлено спустя 17 минут, 57 секунд

Если вы это рассказываете Левченко Сергей, то его сильно интересует именно тот факт, что некоторые последовательности, например 2*(1 - (1/2)^n)бесконечно приближаются к пределу, но ни при каком конечном n его не достигают. Т.е. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/n^2 = 2 - (1/2)^(n - 1), но 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/n^2 + ... = 2. Вот не может он понять, как это добавили три точки после суммы (тем саммым связав n), потом взяли и отбросили в частичной сумме (1/2)^(n - 1) и получили результат 2. Я ему уже долго объясняю, привожу определения, наглядные примеры, но всё бестолку...

Obscury
В том смысле, что не очевидно, как это следует непосредственно из определения борелеской сигма алгебры т.е. надо явно строить множество. Есть хорошая книга "Контрпримеры в анализе" Гелбаум, Олмстед там строится пример измеримого неборелевского множества.
Добавлено спустя 11 минут, 27 секунд

Тут вы говорите уже о сумме ряда , о последовательности тут можно говорить только в смысле последовательсности частичных сумм ну,а то что последоватетельность частных сум:
не достигает своего предела ни на каком своем эелементе это очевидно ведь (1/2)^(n - 1) не равно нулю ни при каком эн .
А то , что :

тут не надо ничего понимать и напрягать мозг чтобы увидеть почему именно так , в таких случаях просто "тупо" доказавают по индукции да и все =))

Это понятно. Неборелевское множество (и тем более неизмеримое) - это уже экзотика, об этом я тоже писал. Просто serj666(reborn) сказал, что утверждение слабое, потому что мощность борелевской сигма-алгебры контимуум. Если честно мне это не понятно, это же не означает, что семейство неборелевских множеств не может также обладать мощностью континуума.
Добавлено спустя 6 минут, 47 секунд

Не понял. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/n^2 - это частичная сумма, также как и 2 - (1/2)^(n - 1), просто разные записи одного и того же. А 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/n^2 + ... - это уже ряд, сумма которго равна lim( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/n^2 ) = lim( 2 - (1/2)^(n - 1) ), при n --> oo.
Добавлено спустя 12 минут, 25 секунд
Описка небольшая 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n.
Добавлено спустя 48 минут, 32 секунды
Дошло кажись, что имел ввиду serj666(reborn). Множество всех подмножеств R обладает мощностью 2^C (больше мощности континуума). А борелевская сигма-алгебра обладает мощностью континуума => существование неборелевских множеств (причём не зависит от того считаем мы обобщённую континуум-гипотезу верной или нет). Поэтому утверждение слабое, т.к. оно следствие. Математикой почти 2 года не занимался (специальность с ПО связана), поэтому не сразу догнал...

Ну разговор шел у вас о пределах последовательностей как я понял а тут уже ряд пошел.


Ваша формула 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 2 - (1/2)^(n - 1) кстати не верна подставьте n = 0 ,1 правильно будет 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + (1/2)^n = 2 -(1/2)^n

Вы что делаете серьёзное различие между рядами и последовательностями? Это суть одно и тоже. А разговор там вообще про другое, не про терминологию. Если хотите можете почитать тему с самого начало (хотя спор начился ещё в ветке про библию).

Да, вечная засада, когда быстро пишешь (или кодишь). В сумме не n слагаемых, а n + 1. Поэтому 1 + 1/2 + ... + 1/2^n = 1*(1 - (1/2)^(n+1)) / (1 - 1/2).

Это верно , но это есть такая теорема о том ,что множество всех подмножеств всегда имеет мощность большую чем мощность исходного множества ее еще надо доказать ,чтобы ссылатся и потом, когда мы работаем с бесконечными мощностями тут далеко не все очевидно на самом деле .



Я конечно делаю )) То , что вопрос о сумме ряда сводится к вопросу о пределе последовательности частных сум еще не означает что это одно и тоже у рядов еще куча всяких признаков сходимостей существует. Вот то ,что члены ряда можно восстановить зная последовательность частичных сумм это верно

Это теорема Кантора и имеет очень простое доказательство на сколько я помню. Что в моём утверждении для вас не очевидно?
Добавлено спустя 2 минуты, 47 секунд

Да мы здесь не экзамены сдаём. Я свои по математике уже все сдал. Мы разбираемся.

Ах в этом смысле я невнимательно прочитал просто .

Серьёзно что ли? Буду знать.

Эх, а зря. Любое утверждение сформулированное для рядов, можно переформулировать на языке последовательностей и наоборот. И признаки сходимости в том числе.

Знаете, мне кажется что вы плохо изучали тервер. потому что доказательство там мегатривиальное. Лемма состоит в том, что Любое борелевское континуально. Борелевская сигма алгебра содержит борелевские, поэтому и онА сама континуальна. Вот и всё ваше доказательство, и я не понимаю что вы тут корчите


+1, алилуя. Наконецто кто-то ещё понял.

Кто ещё хочет показать. что существование неборелевских очевидно ?

Спасибо =) Конечно можно заменить в формулах признаков члены ряда разностями частных сум , только смысла это имеет немного у последовательности надо просто найти предел и все, там уже дан общий член бери и ищи ,там не надо ничего выяснять, проверять ,там просто отыскивают предел. В случае ряда формулу для частичной суммы еще надо сначала найти , и прежде чем это делать обычно смотрят, имеет ли это не всегда простое занятие вобще смысл ,как раз с помощью всяких признаков сходимости . Бескоречный ряд это объект у которого есть строгое определение и это абсолютно не одно и тоже, что и последовательность это соверешнно разные вещи .
Добавлено спустя 2 минуты, 31 секунду

Она из них и состоит это собственно определение борелевского множества.

Aside

Всё верно!

Да, диагональным методом доказывается в одну строку.

Интересная лемма, но она противоречит определению сигма-алгебры (и даже определению полукольца множеств), т.к. пустое множество неконтинуально.
С Вами всё ясно.

amdfan