О парадоксах в математике. Просьба изъясняться на понятном языке.

Операция умножения на бесконечность не определена. Число нельзя умножить на бесконечность. Символы бесконечностей используются для обозначения неограниченности числовых интервалов, но это не математические объекты, с которыми можно выполнять операции.

Берем отрезок 1 см. Каждый раз делим пополам и следующую половину тоже и так до бесконечности, функция 1см/2^n. При любом n задача решаема. При n=INFINITY задача нерешаема. С бесконечностью математика может работать, только как с пределом функции...

Не будем путать людей. ЧИСЛО называется ПРЕДЕЛОМ, если [тут следует определение предела]. Никаких бесконечных пределов нет. Бесконечность - это символ, который используется, чтобы описать неограниченность интервала, базы и пр. В новое время математики, которые были в это же время философами (в основном посредственными), пытались дать метафизическую трактовку бесконечности, но современная математика от этих попыток отказалась. Не будем спекулировать.

Тогда мне не совсем понятно разрешения деления на бесконечность и умножение на 0.
Добавлено спустя 1 минуту, 31 секунду
А бесконечные последовательности?

Умножение на 0 - это нормально, 0 число, для чисел умножение определено. Прошу примеры деления на бесконечность.

Добавлено спустя 10 минут, 3 секунды

Прокомментируйте пример...

anwjl exception №раз - Divide by zero.
Прикол в том, что деление 0 на 0 не вызывает это исключение.
Добавлено спустя 3 минуты, 56 секунд
Левченко Сергей, в твоем примере 'n' число или 'бесконечность'? Если второе, то 'бесконечность' и 'бесконечность-n' синонимы и имеют смысл только при операциях деления бесконечности на другую бесконечность. (ну, что такое правило г-на Лапиталя все знают)

Пример не мой, я в математике дилетант, то что написано верно, или нет? Я просто не силен в формулировках. N это число.

Левченко Сергей В первом случае ряд сходится, видимо, по какому-то признаку, а кажется, что имеет место деление на бесконечность. Во втором случае просто деление число на число.

serj Так я про деление вроде не говорил.
Добавлено спустя 10 минут, 24 секунды
* там не ряд, а предел последовательности 1, 1/3, 1/7, 1/15..., но сути это не меняет, предел равен 0

Результат от деления в первом случае будет >0 или =0 ? Деление на ноль запрещено, хотя оно встречается в диф. исчислении, правильно?
Честно говоря, у меня уже голова кругом. Три дня назад, я прочитал теорию пределов, сегодня закончил теорию множеств. Задал вопросы трем математикам, причем ответы были скажем не совсем однозначные, приблизительно как у вас И мне сейчас кажется, что я знаю сейчас намного меньше, чем я знал год назад. Вот скажите мне, зачем определение предела для бесконечной геометрической прогресии? По моему она уже определена. Мы вернулись к тому, с чего начали.
Добавлено спустя 2 минуты, 46 секунд

Это я согласен, но результат от деления всегда(в любом случае) будет >0? Правильно? Или я совсем ничего не понял в теории пределов...

Да, 0, но нет там деления не бесконечность, есть предел LIM(n->oo, 1/SUM(0,n, 2^n) ), так примерно. Этот предел можно формально вычислить, будет 0 (могу доказать, но потребуется время).


Если честно, "зачем" в отношении математики меня самого смущает довольно часто. Есть определение предела последовательности, если последовательность сходится к числу - он есть, если не сходится - его нет.

Вот к примеру 1/3=0,3333333333333333333333...** Тройка в периоде продлится до бесконечности. И если мы округлим к примеру на 6 знаке, получим 0,333333х3=0,999999, уже не единицу...
Добавлено спустя 2 минуты, 57 секунд

Сейчас я приведу вам ответ математика, у которого я консультировался: Используя алгоритм описанный выше, на каждой итерации Вы будете получать отрезки ОДИНАКОВОЙ длины. Но это не так важно. 2. А это уже важно - если Вы будете делить таким образом до бесконечности - длины получившихся отрезков будут СТРЕМИТЬСЯ к нулю, но РАВНЯТЬСЯ нулю никогда не будут.
Кому верить?

Если n конечное число, то результат будет больше 0. Но как только мы совершим предельный переход, неважно в каком виде, как предел при n->oo или поставив "..." после суммы, то этот предел окажется равным 0.

Вообще-то это зависит от правила округления. Можно получить как 1, так и не 1.

Это если к примеру:Допустим е=0,0001 и последовательность 1/n^2 . тогда, для того, чтоб доказать, что пределом данной последовательности является "0", достаточно решить неравенство (0,0001 =10^-4 ) 1/n^2 < 10^-4 n^2 > 10^4 n > 100 т.е. для е=0,0001 любой элемент последовательности с шагом > 100 удовлетворяет определению предела.

Ноль (нейтральный элемент по сложению) не обратим по умножению в поле, состоящем более чем из одного элемента.

Если числа равны и основания равны то степени тоже равны.

Предел, это величина, к которой стремится переменная никогда его не достигая.
Понимаете, в чем дело, вы мне объясняете сейчас на уровне школы, а я это и так знаю. Меня заинтересовало это больше с философской стороны, почему так, а не иначе? Почему умножать на 0 можно, а делить нельзя, почему деление на бесконечность, вроде как и нельзя, а вроде как и можно, зачем двоякое определение предела? Почему абстрактной величине 0 присвоили "звание" цифры, а бесконечности нет?
Добавлено спустя 2 минуты, 22 секунды

А тогда каков смысл умножения на 0 и возведения в степень?

Не верно. Предел нулевой последовательности равен нулю.

Да, и реально, дельтаS/дельтаT стремятся к 0, и все таки через него проходят в параболической функции...