О парадоксах в математике. Просьба изъясняться на понятном языке.

С удовольствием, но я что-то утратил нить спора.

Левченко Сергей Если вас интересуют именно философские аспекты математики, рекомендую соотвествующую главу Заката Европы Шпенглера. Думаю, вам будет интересно.


Никакого парадокса нет. Если постараться, бесконечную площадь можно вместить и в отрезок прямой:

Ну тогда ещё раз прочитайте, что я вам писал с того места, когда вы ввели актуальные и потенциальные бесконечности. И ответе на вопросы про окружности. Они более, чем конкретные.

Меня этот вопрос очень интересует. А ссылки у вас нет?

anwjl прочтите 4-ую станичку, учитывая высказывания товарища Левченко Сергей:
1. Математика не может работать с бесконечностью.
2. Спросили чему равно 1/бесконечность, а сами заявили, что никогда не будет равна 0.
Он их сделал в ветке про библию, ссылка была, если интересно.
Добавлено спустя 4 минуты, 47 секунд

Или начало третьего тома "Война и мир" .
Добавлено спустя 6 минут, 45 секунд

И замете, так сделать можно только в математическом мире, но и построить такие конструкции можно тоже только в математическом мире. Это не так просто понять. С наскока не получиться. Всё тот же вопрос про колбасу. Вообше, есть такой раздел математики как дифференциальная геометрия и топология, там много интересных вещей есть.

Нет(( У меня бумага.


Там спор математика с гуманитарием. Вы говорите на разных языках.


Если не заморачиваться с геометрической интерпритацией (цилиндры, квадратики), то взаимно-однозначные соответсвия устанавливаются не так сложно.

Ну гуманитарий-негуманитарий, а сказав, что "математика не может работать с бесконечностью" и "1/бесконечность никогда не будет равна 0 в матиматеке" нужно обосновать, а поняв, что ошибся сознаваться в этом, а не юлить. Никто ведь за язык не тянул.

Сложно понять для нематематика, как это "размазать" шарик конечного объёма по бесконечной плоскости. А демонстрация соответствующей биекции впечатление, думаю, не произведёт.

Прочитал я это произведение. Если честно, то для меня это не стало откровением, но приятно, что твои мысли находят подтверждение. Если вы читаете такую литературу, то наверное должны понимать меня, как гуманитария, я думаю вы это не сказали как ругательство
Хочу вам высказать свои мысли насчет развития математики, только вам, потому что скорее всего только вы меня сможете понять.
Современная математика работает с реальностью на дискретном уровне, она не может работать с ней в режиме реального времени. И наверное не зря древние индийцы научились работать с 0 как с числом, но не с бесконечностью. Хотя такую же величину противоположную 0 им ничего не мешало бы ввести. Математика основана на логике здравого смысла и натуральных чисел, чтобы работать с бесконечностью, такой подход неприемлем. Кантор первый ввел в математику семантику, и убрал оттуда аксиоматику, и насколько я понял(поправьте если неправ) предложил отказаться от чисел вообще. Вместо этого предложил набор логических правил. Причем логика очень интересная Если идет дождь, то я сижу дома, или если я сижу дома то идет дождь. Оба утверждения раноценны, но обязательно должно быть дополнение Насколько я понял, в новой математике нет ни чисел, ни действий, есть машина, которая плавает в информационном море, естественно по определенным правилам и ищет логические связи в бесконечности. Но если бесконечность будет действительно бесконечность, машина утонет, так никогда не доплывя до берега. И тут очень кстати подвернулась альтернативная теория множеств, которая предлагает остановить мгновенье. Так сказать небольшой срез времени, с берегами, в котором безопасно может плавать машина. Машина нашла решение, размер пруда можно увеличить.

Это уже нюансы. Когда вы пишите 1/бесконечность = 0, в голове приходится держать предельный переход, то есть то самое "А называется пределом, если для любого e существует n" (или по базе, если угодно), которое превращает неограниченное приближение по n в конечное число А. Левченко Сергей , видимо, как и многие до него, считает это превращение несколько произвольным. Но теория пределов от этого ни сколько не страдает.
Добавлено спустя 4 минуты, 32 секунды

И далее мне не понятно. Если вы пытаетесь в двух словах переложить какое-то достаточно сложное произведение, то лучше дать мне оригинал. Так дойдет быстрее.

http://www.elib.org.ua/philosophy/ua_sh ... m=&ucat=1&
Добавлено спустя 4 минуты, 4 секунды
http://www.refal.net/turchin/phenomenon/chapter12.htm
Добавлено спустя 15 минут, 52 секунды
http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/DM-00.php
Блин, еле нашел...

Левченко Сергей Я это осилю, может не завтра, но осилю, и можно будет переезжать в тему по философии.

И когда то появится такой гибрид, - философии с математикой

Извините, не впитал... Как именно и какими сторонами складываются "квадратики" 0,5х2 в линию? По спирали? Много думал...

Левченко Сергей, ознакомился я со второй вашей ссылкой. Теперь понятно откуда у вас взялись эти понятия о потенциальной и актуальной бесконечностях. По сути к этой мысли я вас и подводил вопросами про окружности. Как не назови бесконечность, с которой работают в математике (например, бесконечность точек окружности, к которой стремиться бесконечость точек правильного n-угольника), но именно она имеет практическую важность. Объёмы, площади, центры масс, моменты инерции, инергии, решения дифференциальных уравнений, вообщем всё то для чего и нужна математика, получается предельным переходом (на каком-то этапе), но что может быть актуальней этих вещей (никакой софистики)? Мы же говорим о математике и её приложениях. Поэтому ваша актуальная бесконечность - это лишняя сущность (незабываем про бритву Оккама), не имеющая никакого практического смысла (и никакого другого я тоже не вижу) и только мешающая вам мыслить. Теперь ясно, чего я добивался вопросами про окружность? Кстати цитаты из этого же материала:

Цитата однозначная, никакого вырывания из контекста.
А вот то, что я вам пытался долго объяснить ещё в ветке про библию:

И вот это тоже долго вам пытался объяснить, когда говорил, что аксиома - это не синоним слова вера, а синоним слова контракт, интерфейс и служит для абстрагирования:

Кстати, тем же путём пошло и программирование (а каким же ещё?) - ООП (STL из стандарта C++ яркий тому пример), конпонентно-ориентированные технологии (COM, CORBA).

Ps!ho строится вот такая система - площадь фигуры бесконечна (площадь каждого прямоугольника 1 и их бесконечно много) а сумма объемов циллиндров конечна - заполняем краской...
#77

Sanko Хмм... Зачем было так усложнять? После того, как вы зальёте краску в такую конструкцию, уже случится парадокс - бесконечно большая площадь внутренней поверхности цилиндров окрасится конечным кол-вом краски...

Sanko, Ps!ho, трюк в том, что реальная краска имеет предел деления, поэтому даже раскрашивая с плотностью в одну молекулу на м^2, мы никогда не раскрасим бесконечную площадь. Но удивляться тут нечему, ведь мы не можем в реальности построить такие конструкции, поэтому и парадокса в реальности нет, это обман воображения, вы сделали в реальном мире невозможную операцию, и получили в этом реальном мире противоречие. Но в математическом мире это сделать можно. Почему? Потому что краска в нём будет математическим "веществом", т.е. подмножеством числового простанства R^3 (это математическая модель реального трёхмерного пространства, т.е. множество, состояшее из трёхмерных точек (x, y, z), где x, y, z - это действительные числа), и в данном случае это подмножество состоит из континуум точек (это больше, чем молекул в веществе), и этого с головой хватит, чтобы закрасить всю бесконечную плоскость. Каждую точку (x, y) на плоскости можно закрасить точкой (arctg(x)/Пи + 1/2, arctg(y)/Пи + 1/2, 1/2) из открытого (т.е. без границы) куба (0, 1)x(0, 1)x(0, 1). Объём куба конечен и равен 1, объём конструкции из цилиндров конечен и равен 2*Пи > 1 (если вы вдруг решили, что я взял больше краски). "Площадь" плоскости, не менее бесконечна, чем "площадь" конструкции из квадратиков.

Obscury понял только немногое

Вообще-то я полагал, что всё дело в том, что у функций площади прямоугольника a*b и объёма цилиндра Pi*R^2*H разные пределы при интегрировании по обозначенному выше правилу: 1 параметр увеличивается в 2 раза, другой уменьшается в 2 раза. Площадь очевидно будет величиной постоянной, а вот объём будет уменьшатся в 2 раза с каждой итерацией

http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_маляра

Всё так. Площадь = 1 + 1 + ... + 1 + ... = бесконечность, объём Пи + Пи/2 + Пи/4 + Пи/8 + ... + Пи/n^2 + ... = 2*Пи (никакого интегрирования, простая бесконечно убывающая прогрессия). Математически, конечный объём легко "размазывается" по бесконечной плоскости. Я только что показал один из возможных способов, как это сделать: берём любую точку из плоскости (x, y) для неё всегда можно взять точку из открытого куба (0, 1)x(0, 1)x(0, 1) по правилу (x, y, z) = (arctg(x)/Пи + 1/2, arctg(y)/Пи + 1/2, 1/2) и "кладём её" сверху на точку из плоскости (закрашиваем).

Вы уж и 3 ссылку почитайте... Актуальная бесконечность, не совсем никчемное понятие. Шаг уже сделан, и этот шаг первый на пути создания искуственного интеллекта...