При каких значениях парамеира а уравнение

8ax^3-12(a+3)x^2+6(a+6)x+3(a-3)=0

имеет 3 различных корня?
Буду благодарен за помощь. ) Нужен не ответ, а направление решения.

Наверное имелись ввиду три различных действительных корня иначе при а отличном от нуля всегда есть три комплексных. Единственное что пришло в голову(наверное сложно будет ) найти все три комплексных корня и исходя из условия, что они должны быть действительные и разные найти значения параметра a. Корни можно однозначно найти методом ... эээ - забыл (толи феррари, толи еще как-то). Но получится громоздко. Более элегантного ничего не пришло .

зы: если у уравнения есть три действительных корня, то его можно представить в виде: (x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 - наверное отсюда надо плясать.

mein
Да, имелись в виду именно действительные корни.

Можно, в принципе,рассчитать Q=(a^2-3b)/9, R=(2a^3-9ab+27c)/54. И если R^2<Q^3, то уравнение имеет 3 действительных корня. (для ур-я вида X^3+ax^2+bx+c=0)
Но там получаются дико громоздкие вычисления.
Добавлено спустя 3 минуты, 5 секунд
Нравится мне экзамены в этот вуз. Например, задача по аналитической геометрии, которую в школе не проходят вообще.

А мне по другому видится (хотя такие рода задачки давно не решал).
Главная идея такая: для трех различных корней значения функции в точках экстремума должны быть разного знака.
Ищешь производную, дискриминант, получаешь 2 корня с параметром а.

8ax^3-12(a+3)x^2+6(a+6)x+3(a-3)=0
Производная:
24ax^2-24(a+3)x+6(a+6)=0
Она же:
4ax^2-4(a+3)x+(a+6)=0
Дискриминант:
D=16(a+3)(a+3)-16a(a+6)=
=16(a^2+6a+9)-16(a^2+6a)=16(9)
Корни:
x1=(4(a+3)+12)/8a=1/2+3/a
x2=(4(a+3)-12)/8a=1/2

Дальше сам разберешься?
На всякий случай проверь мои каракули.

Грецкий!
Логично...
Посчитал-корни совпали с твоими.
Далее имеем:
cейчас переделаю )

Грецкий!
В принципе направление верное, только интерпретировал ты несколько не правильно. Точки перегиба функции находятся из второй производной, а из первой находятся точки экстремума. Такое уравнение может иметь либо одни либо три действительных корня. Если один, то точка экстремума одна, если три - две различные точки. Вот тут то и надо обработать полученные тобой точки x1 и x2.

mein
Получается, нужно решить неравенство F(x1)*F(x2)<0?

Ну вроде получается, что так. У меня к концу рабочего дня голова уже не варит

mein
Поправка принимается. Исправил.
Кстати может быть и 2 разных корня.

Пёс Бобик
Именно. Хотя если произведение громоздкое получается - решай через систему.

Получается что два действительных и один чисто комплексный? Но насколько я знаю комплексные вроде только парами обитают .

mein
Если именно разных, то могут. Все 3 действительные. Просто 2 одинаковые
Это когда значение ф-ции в экстремуме = 0. Думаю поймешь. А то рисовать лень.

mein
Грецкий!
Спасибо большое за помощь.