Здравствуйте!
Передали мне задачку, похоже по диффурам:

d/dx(du/dx)=u, 0<x<1, u(0)=u(1)=0

Сам я, честно говоря, уже давно забыл как это все решается. По-моему, это неоднородный диффур второго порядка. Вроде как там нужно однородное решить, а потом что сделать. Подскажите, пожалуйста или направьте в нужное русло.

Заранее спасибо!

greedy_man
Это однородный диффур второго порядка с постоянными коэффициентами.
Обозначия: D - оператор дифференцирования по x, E - тождественный оператор.
Переписываем: (D^2-E)u=0.
Характеристическое уравнение: t^2-1=0.
Решаем: t=1, t=-1.
Общее решение: a1*exp{x}+a2*exp{-x}.
Подставляем краевые условия, получаем систему на a1 и a2, решаем и получаем, что a1=a2=0.
Ответ: тождественный нуль.

Другое решение:
Тождественный нуль подходит. По теореме единственности других решений нет.

Большое спасибо!



но разве не:
D^2=1
D=x+C
u=x^2/2+Cx+C1
?

курю мануалы...

greedy_man

D,E - это операторы.

Это общее решение другого уравнения - неоднородного уравнения u''=1.

Ребята!
А как решить эту же задачу численно?
Как построить разностную схему?

Заранее спасибо!

greedy_man
Собственно численное решение:
f(x+h)=f(x)+h*f'(x)+h^2/2*f''(x)+h^3/6*f'''(x)+O(h^4)
f(x-h)=f(x)-h*f'(x)+h^2/2*f''(x)-h^3/6*f'''(x)+O(h^4)
Складываем:
f(x-h)-2*f(x)+f(x+h)=h^2*f''(x)+O(h^4)
Далее f''(x)=f(x), получаем:
f(x-h)-(2+h^2)*f(x)+f(x+h)=O(h^4) (*)
O(h^4) кладём равным нулём и получаем разностную схему.
Сетку делаем равномерную, т.е. h=1/n.
(*) задаёт n-1 уравнение, ещё 2 уравнения задаются краевыми условиями. Переменныx n+1 штука.
Получаем линейную систему из n+1 уравнения от n+1 переменной. Матрица системы трёхдиагональная с диагональным преобладанием - решается методом прогонки.
В общем случае точность решения будет O(h^2), в данном конкретном случае решение будет точным - во всех узлах сетки будет нуль.

Большое спасибо за ответ!

До этого момента все понятно.


То есть получим матрицу, где на главной диагонали (-2-h^2), а на двух других будут единицы?(посмотрел по аналогии с нелинейной задачей... пока принцип составления этой матрицы непонятен )
Краевые условия f(0)=f(1)=0. Значит элементы (1,1) и (n+1,n+1)==0?

greedy_man

Да.

Нет, это означает, что (1,1)=(n+1,n+1)=1, а первая и n+1 компоненты вектора в правой части будут нулями.

Система уравнений выглядит так:
f(0)=0
f(0)-(2+h^2)*f(1/n)+f(2/n)=0
f(1/n)-(2+h^2)*f(2/n)+f(3/n)=0
.......
f(n-3/n)-(2+h^2)*f(n-2/n)+f(n-1/n)=0
f(n-2/n)-(2+h^2)*f(n-1/n)+f(1)=0
f(1)=0

В матричном виде: A*[f(0),f(1/n),...,f(n-1/n),f(1)]=[0], где A=
1 0 0 ... 0 0
1 -(2+h^2) 1 0 0 ... 0 0
0 1 -(2+h^2) 1 0 0 ... 0 0
0 0 1 -(2+h^2) 1 0 0 ... 0 0
----------------------------
0 0 ... 0 0 1 -(2+h^2) 1 0 0
0 0 ... 0 0 1 -(2+h^2) 1 0
0 0 ... 0 0 1 -(2+h^2) 1
0 0 ... 0 0 1

serj666(reborn)
Огромное тебе спасибо!