На экране (условно говоря, на рабочем столе) перестали высвечиваться пропущенные звонки и пришедшие смс. Также не работает звуковой сигнал на входящие смс? В чем может быть проблема?

Напиши модель телефона. Если это смартфон на s60, то скорее всего забита память телефона. Попробуй удалить ненужные смс (особенно принятые по bt файлы) и почисть память.